微分方程式の解き方【高校数学Ⅲ】

◎問題をノーヒントでやってみよう

 

 

 

 

 

 

◎攻略ポイントを確認しよう

 

 

 

◎答えをチェックしよう

 

 

 

◎完璧じゃなかったら解説を読もう

 

 

 

ここでは、微分方程式について勉強します。
微分方程式は、主に大学数学の範囲ですが。
高校数学Ⅲでも、ごく初歩的な問題が取り扱われています。
今回の例題のような問題ですね。
確認していきましょう。

 

 

まず「微分方程式」とは何でしょうか？

僕たちは方程式については勉強してきました。

 

 

 

 

ある値のときに成り立つ式、それが方程式でした。
（ちなみに、どんな値でも成り立つ式は恒等式でした。）
では、微分方程式とは何か？

 

 

 

 

このような、微分された式を導関数と言いました。
この導関数が含まれる方程式を、微分方程式と言います。

 

 

では、「微分方程式を解く」とは、どういうことでしょうか？
僕たちはこれまで、方程式を解いてきましたよね。
例えば、「ｘ＋３＝５」これは方程式です。
意味は、「この式を成り立たせるようなｘの値は何か？」ですよね。
当然、答えはｘ＝２です。

 

 

微分方程式でも同じようなものです。
違いは、値ではなく「関数を表す式」を求めるということです。
例えば、「ｙ’＝２」。
これは「微分して２になるようなｙの式は？」という意味です。
つまり、直接積分すればいいですね。
ｙ＝２ｘ＋Ｃ（Ｃは任意の定数）です。
このＣは不定積分で何度も出てきたので、ＯＫですよね。
定数ならどんな数でもいいということです。
ｙ＝２ｘ＋３でも、ｙ＝２ｘ－１０００でも。
微分すれば、ｙ’＝２になりますもんね。
以上より、微分方程式ｙ’＝２を解くと、ｙ＝２ｘ＋Ｃ（Ｃは任意の定数）となることがわかります。

 

 

このように、微分方程式では。

微分の知識、積分の知識が不可欠になります。

基本的な微分や積分に自信がない場合は。

まずそこからマスターしておくべきです。

 

 

基本的な微分や積分をマスターしている方なら、今までの例を見て。

「なんだ、単なる積分する問題か。楽勝！」
と思われるかもしれませんが、ここまでのような問題は、簡単すぎてあまり出てきません^^;
今回の例題のように、直接積分では解けない形がほとんどです。
例えば「ｙ’＝２ｙ」です。
「微分して、２ｙになるような、ｙの式？ん？？」
となりますよね。
イコールの後に、ｙがあるので、直接積分では考えられない。

 

 

じゃあ、どうすればいいか？
１つの方法として、「∫（ｙの式）ｄｙ＝∫（ｘの式）ｄｘの形を目指す」ことで解決できます。
ザックリですが見ていきましょう。

 

 

 

 

微分方程式では、このＣの扱いも大切です。
初期条件「ｘ＝☆、ｙ＝△」がわかっていれば、Ｃは具体的な数字が求まります。
初期条件がなければ、何でもＯＫということなので、Ｃのまま放っておきます。

 

 

このように「∫（ｙの式）ｄｙ＝∫（ｘの式）ｄｘの形」ができあがれば、解けます。
そして今回の例題のような場合、この形に持ちこめます。

 

 

 

 

変数分離形を、どのようにして∫（ｙの式）ｄｙ＝∫（ｘの式）ｄｘの形に持ちこんでいくのか？
具体的には、わかりやすいと思うので授業動画で見ていきましょう。

 

 

 

 

…
理解できましたでしょうか？
授業動画内で紹介した証明は、以下のようになります。
この証明がテスト問題になることは、あまりないと思います。
ので、気にならない方は飛ばしても全然ＯＫです。

 

 

 

 

…
はい！ということで。
これにて、全て終了です！
お疲れ様でした！！

 

 

どうでしょうか？
理解できましたでしょうか？？

 

 

最後にもう１度、攻略ポイントをまとめておきましょう。

 

 

この知識を使って、自分でもノーヒントで正解できるように。
類題を見つけて、しっかり練習しておきましょう^^
 

 
 

◎類題で身につけよう
 
 

 

動画質問テキスト：数学Ⅲエセンスｐ１１８