微分方程式の解き方【高校数学Ⅲ】

◎問題をノーヒントでやってみよう

 

 

 

微分方程式の解き方【高校数学Ⅲ】

 

 

 

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微分方程式の解き方【高校数学Ⅲ】(攻略ポイント)

 

 

 

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微分方程式の解き方【高校数学Ⅲ】(解答)

 

 

 

◎完璧じゃなかったら解説を読もう

 

 

 

ここでは、微分方程式について勉強します。
微分方程式は、主に大学数学の範囲ですが。
高校数学Ⅲでも、ごく初歩的な問題が取り扱われています。
今回の例題のような問題ですね。
確認していきましょう。

 

 

まず「微分方程式」とは何でしょうか?

僕たちは方程式については勉強してきました。

 

 

方程式とは

 

 

ある値のときに成り立つ式、それが方程式でした。
(ちなみに、どんな値でも成り立つ式は恒等式でした。)
では、微分方程式とは何か?

 

 

微分方程式とは

 

 

このような、微分された式を導関数と言いました。
この導関数が含まれる方程式を、微分方程式と言います。

 

 

では、「微分方程式を解く」とは、どういうことでしょうか?
僕たちはこれまで、方程式を解いてきましたよね。
例えば、「x+3=5」これは方程式です。
意味は、「この式を成り立たせるようなxの値は何か?」ですよね。
当然、答えはx=2です。

 

 

微分方程式でも同じようなものです。
違いは、値ではなく「関数を表す式」を求めるということです。
例えば、「y’=2」。
これは「微分して2になるようなyの式は?」という意味です。
つまり、直接積分すればいいですね。
y=2x+C(Cは任意の定数)です。
このCは不定積分で何度も出てきたので、OKですよね。
定数ならどんな数でもいいということです。
y=2x+3でも、y=2x-1000でも。
微分すれば、y’=2になりますもんね。
以上より、微分方程式y’=2を解くと、y=2x+C(Cは任意の定数)となることがわかります。

 

 

このように、微分方程式では。

微分の知識、積分の知識が不可欠になります。

基本的な微分や積分に自信がない場合は。

まずそこからマスターしておくべきです。

 

 

基本的な微分や積分をマスターしている方なら、今までの例を見て。

「なんだ、単なる積分する問題か。楽勝!」
と思われるかもしれませんが、ここまでのような問題は、簡単すぎてあまり出てきません^^;
今回の例題のように、直接積分では解けない形がほとんどです。
例えば「y’=2y」です。
「微分して、2yになるような、yの式?ん??」
となりますよね。
イコールの後に、yがあるので、直接積分では考えられない。

 

 

じゃあ、どうすればいいか?
1つの方法として、「∫(yの式)dy=∫(xの式)dxの形を目指す」ことで解決できます。
ザックリですが見ていきましょう。

 

 

微分方程式の解き方

 

 

微分方程式では、このCの扱いも大切です。
初期条件「x=☆、y=△」がわかっていれば、Cは具体的な数字が求まります。
初期条件がなければ、何でもOKということなので、Cのまま放っておきます。

 

 

このように「∫(yの式)dy=∫(xの式)dxの形」ができあがれば、解けます。
そして今回の例題のような場合、この形に持ちこめます。

 

 

微分方程式と変数分離形

 

 

変数分離形を、どのようにして∫(yの式)dy=∫(xの式)dxの形に持ちこんでいくのか?
具体的には、わかりやすいと思うので授業動画で見ていきましょう。

 

 

 

 


理解できましたでしょうか?
授業動画内で紹介した証明は、以下のようになります。
この証明がテスト問題になることは、あまりないと思います。
ので、気にならない方は飛ばしても全然OKです。

 

 

dy/dx約分の証明

置換積分の公式の証明

 

 


はい!ということで。
これにて、全て終了です!
お疲れ様でした!!

 

 

どうでしょうか?
理解できましたでしょうか??

 

 

最後にもう1度、攻略ポイントをまとめておきましょう。
微分方程式(変数分離形)の攻略ポイント

 

 

この知識を使って、自分でもノーヒントで正解できるように。
類題を見つけて、しっかり練習しておきましょう^^
 

 
 

◎類題で身につけよう
 
 

 

動画質問テキスト:数学Ⅲエセンスp118

「やり方を知り、練習する。」 そうすれば、勉強は誰でもできるようになります。 机の勉強では、答えと解法が明確に決まっているからです。 「この授業動画を見たら、できるようになった!」 皆さんに少しでもお役に立てるよう、丁寧に更新していきます。 受験生の気持ちを忘れないよう、僕自身も資格試験などにチャレンジしています! 共に頑張っていきましょう!

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